Algèbre · 1re
Variations et limite d'une suite
Une suite qui monte, une qui descend, une qui oscille sans jamais se stabiliser : trois destins différents, à lire dans son comportement, pas dans son premier terme.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- limite d'une suite
- La valeur (finie) ou le comportement (infini) vers lequel se rapprochent les termes d'une suite quand n devient très grand. Certaines suites n'ont pas de limite.
- conjecturer
- Proposer, à partir d'exemples numériques ou d'une représentation graphique, une hypothèse qui n'est pas encore démontrée.
Ce qu'on sait
- Pour étudier le sens de variation, j'étudie le signe de la différence uₙ₊₁ − uₙ (ou, pour des termes strictement positifs, je compare le quotient uₙ₊₁ / uₙ à 1).
- Une suite arithmétique de raison strictement positive tend vers +∞ ; de raison strictement négative, elle tend vers −∞.
- Une suite géométrique à termes positifs, de raison strictement supérieure à 1, tend vers +∞ ; de raison comprise strictement entre 0 et 1, elle tend vers 0.
- Une suite peut ne pas avoir de limite : c'est le cas d'une suite qui oscille indéfiniment, comme uₙ = (−2)ⁿ.
La méthode, étape par étape
1.Pour le sens de variation, je calcule ou j'observe le signe de uₙ₊₁ − uₙ : positif, la suite croît ; négatif, elle décroît.
2.Je peux aussi lire une conjecture de variation ou de limite sur un graphique, en observant l'allure des premiers termes.
3.Pour conjecturer : Proposer, à partir d'exemples numériques ou d'une représentation graphique, une hypothèse qui n'est pas encore démontrée. une limite, je calcule plusieurs termes, ou je m'appuie sur le comportement connu des suites arithmétiques et géométriques.
4.Je vérifie la cohérence entre les trois registres : ce que dit la phrase, ce que montre le calcul, ce que suggère le graphique.
Signe de uₙ₊₁ − uₙ : sens de variation. Raison de la suite : comportement à l'infini (fini, infini, ou absence de limite).
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Soit la suite géométrique de premier terme u₀ = 8 et de raison q = 0,5.
2.Ses premiers termes sont 8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 0,5 : ils se rapprochent de plus en plus de 0.
3.Comme la raison est strictement comprise entre 0 et 1, on conjecture que cette suite tend vers 0.