Algèbre · 1re
Suites arithmétiques
On ajoute toujours le même nombre : une suite arithmétique : Une suite où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé la raison, notée r. avance par pas constants, comme un escalier aux marches identiques.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- suite arithmétique
- Une suite où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé la raison, notée r.
- raison
- Le nombre constant ajouté à chaque terme d'une suite arithmétique pour obtenir le suivant : uₙ₊₁ = uₙ + r. Elle ne doit jamais être confondue avec le premier terme.
- terme général
- Une formule explicite qui donne uₙ directement à partir de n, sans passer par les termes précédents.
Ce qu'on sait
- Le terme général : Une formule explicite qui donne uₙ directement à partir de n, sans passer par les termes précédents. d'une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison : Le nombre constant ajouté à chaque terme d'une suite arithmétique pour obtenir le suivant : uₙ₊₁ = uₙ + r. Elle ne doit jamais être confondue avec le premier terme. r est uₙ = u₀ + n × r.
- La somme de n + 1 termes consécutifs, du premier au dernier, se calcule par la méthode de Gauss : (nombre de termes) × (premier terme + dernier terme) ÷ 2.
- Le signe de la raison donne le sens de variation : positive, la suite est croissante ; négative, elle est décroissante.
- Une évolution à accroissements constants (une quantité qui augmente ou diminue du même montant à chaque étape) se modélise par une suite arithmétique.
La méthode, étape par étape
1.J'identifie le premier terme u₀ et la raison r, en repérant le nombre constant ajouté d'un terme au suivant.
2.Pour calculer un terme général, j'applique uₙ = u₀ + n × r.
3.Pour une somme de termes consécutifs, je compte le nombre de termes, j'identifie le premier et le dernier, et j'applique la méthode de Gauss.
4.Pour le sens de variation, je regarde uniquement le signe de la raison — jamais celui du premier terme.
uₙ = u₀ + n × r ; somme = (nombre de termes) × (premier + dernier) ÷ 2 ; signe de r donne le sens de variation.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Une suite arithmétique a pour premier terme u₀ = 3 et pour raison r = 5.
2.u₄ = 3 + 4 × 5 = 23.
3.La raison 5 est strictement positive : la suite est croissante.