Algèbre · 1re
Suites géométriques
On multiplie toujours par le même nombre : une suite géométrique : Une suite où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, appelé la raison, notée q. avance par bonds proportionnels, comme un capital qui fructifie à taux constant.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- suite géométrique
- Une suite où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, appelé la raison, notée q.
- raison
- Le nombre constant qui multiplie chaque terme d'une suite géométrique pour obtenir le suivant : uₙ₊₁ = q × uₙ. Elle ne doit jamais être confondue avec le premier terme.
Ce qu'on sait
- Le terme général d'une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison : Le nombre constant qui multiplie chaque terme d'une suite géométrique pour obtenir le suivant : uₙ₊₁ = q × uₙ. Elle ne doit jamais être confondue avec le premier terme. q est uₙ = u₀ × qⁿ.
- La somme 1 + q + … + qⁿ, multipliée par u₀, donne la somme de n + 1 termes consécutifs d'une suite géométrique.
- Pour des termes strictement positifs : si q est strictement compris entre 0 et 1, la suite est décroissante ; si q est strictement supérieur à 1, elle est croissante.
- Une évolution à taux constant (une quantité multipliée par le même coefficient à chaque étape) se modélise par une suite géométrique.
La méthode, étape par étape
1.J'identifie le premier terme u₀ et la raison q, en repérant le nombre constant qui multiplie un terme pour obtenir le suivant.
2.Pour calculer un terme général, j'applique uₙ = u₀ × qⁿ.
3.Pour une somme de termes consécutifs, j'utilise la formule de la somme géométrique, en veillant au cas particulier q = 1.
4.Pour le sens de variation d'une suite à termes positifs, je compare uniquement q à 1 — jamais le premier terme.
uₙ = u₀ × qⁿ ; pour des termes positifs, une raison strictement comprise entre 0 et 1 donne une suite décroissante, une raison strictement supérieure à 1 une suite croissante.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Une suite géométrique a pour premier terme u₀ = 2 et pour raison q = 3.
2.u₄ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
3.La raison 3 est strictement supérieure à 1 : la suite est croissante.