Probabilités et statistiques · 1re

Espérance, variance et écart type

L'espérance ne prédit jamais UNE partie : elle décrit ce qui se passe, en moyenne, sur un très grand nombre de parties.

La démonstration en vidéo

espérance E(X): La moyenne des valeurs d'une variable aléatoire, pondérée par leurs probabilités.
variance V(X): Un indicateur de dispersion des valeurs de X autour de son espérance, calculé par V(X) = E(X²) − E(X)² (formule de König-Huygens).
écart type σ(X): La racine carrée de la variance : σ(X) = √V(X).
jeu équitable: Un jeu dont la variable aléatoire de gain (en points) a une espérance nulle : ni un joueur ni l'autre n'est avantagé en moyenne.

Pour l'espérance, je multiplie chaque valeur de X par sa probabilité, puis je somme : E(X) = Σ (valeur × probabilité).
Pour la variance, j'utilise la formule de König-Huygens : V(X) = E(X²) − E(X)², en n'oubliant jamais d'élever E(X) au carré.
L'écart type est la racine carrée de la variance, jamais la variance elle-même.
Un a une espérance nulle : ce résultat se lit toujours en POINTS ou en score, jamais comme une somme d'argent gagnée à coup sûr.

1.Je liste les valeurs possibles de X et leurs probabilités (la loi de probabilité).

2.Je calcule E(X) : chaque valeur multipliée par sa probabilité, puis la somme.

3.Je calcule E(X²) de la même façon, avec le CARRÉ de chaque valeur.

4.J'applique V(X) = E(X²) − E(X)², puis σ(X) = racine carrée de V(X).

E(X) = moyenne pondérée des valeurs. V(X) = E(X²) − E(X)². σ(X) = racine carrée de V(X).

C.Q.F.D.

1.Un jeu donne Y = +1 point avec la probabilité 1/2, Y = −1 point avec la probabilité 1/2.

2.E(Y) = 1 × 1/2 + (−1) × 1/2 = 0 : ce jeu est équitable.

3.E(Y²) = 1, donc V(Y) = 1 − 0² = 1 et σ(Y) = 1.