Probabilités et statistiques · 1re
Indépendance de deux évènements
Indépendants, incompatibles : deux mots qui se ressemblent, deux notions qui n'ont presque rien en commun.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- évènements indépendants
- Deux évènements A et B tels que P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
- évènements incompatibles
- Deux évènements qui ne peuvent JAMAIS se réaliser en même temps, c'est-à-dire tels que P(A ∩ B) = 0 — une notion complètement différente de l'indépendance.
- épreuve de Bernoulli
- Une expérience à deux issues (succès / échec), répétée de façon indépendante et identique.
Ce qu'on sait
- Pour vérifier une indépendance, je calcule le produit P(A) × P(B) et je le compare à P(A ∩ B) : c'est la SEULE vérification valable.
- Deux évènements incompatibles : Deux évènements qui ne peuvent JAMAIS se réaliser en même temps, c'est-à-dire tels que P(A ∩ B) = 0 — une notion complètement différente de l'indépendance. de probabilités non nulles ne sont JAMAIS indépendants : les deux notions se contredisent, sauf si l'un des deux évènements a une probabilité nulle.
- Pour n épreuve de Bernoulli : Une expérience à deux issues (succès / échec), répétée de façon indépendante et identique. indépendantes et identiques (n ≤ 4), les probabilités se multiplient le long de chaque chemin de l'arbre.
La méthode, étape par étape
1.Pour justifier une indépendance, je calcule P(A) × P(B) et je le compare à P(A ∩ B) : s'ils sont égaux, A et B sont indépendants.
2.Je ne confonds jamais indépendance (un produit de probabilités) et incompatibilité (une intersection vide) : ce sont deux définitions différentes.
3.Pour une répétition d'épreuves indépendantes et identiques, je représente l'arbre et je multiplie les probabilités le long du chemin qui m'intéresse.
A et B sont indépendants si et seulement si P(A ∩ B) = P(A) × P(B) — une condition à VÉRIFIER, jamais à supposer sans preuve.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.On donne P(A) = 0,3, P(B) = 0,5 et P(A ∩ B) = 0,15.
2.0,3 × 0,5 = 0,15.
3.Ce produit est bien égal à P(A ∩ B) : A et B sont indépendants.