Algèbre et géométrie · Tle
Démonstration : le projeté orthogonal, point le plus proche
Un triangle rectangle caché dans l'espace suffit à prouver ce qu'on utilise sans y penser : la distance d'un point à un plan se mesure PERPENDICULAIREMENT à ce plan, jamais autrement.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- projeté orthogonal
- Le point H d'un plan P tel que le vecteur MH soit orthogonal à tous les vecteurs de la direction de P (colinéaire au vecteur normal de P).
Ce qu'on sait
- Le projeté orthogonal H de M sur P vérifie : MH est orthogonal à tout vecteur de la direction de P.
- Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés.
- Deux longueurs sont toujours positives ou nulles : comparer leurs carrés revient à les comparer elles-mêmes.
La méthode, étape par étape
1.Je note H le projeté orthogonal de M sur le plan P, et je considère un point Q quelconque de P, distinct de H.
2.Par définition du projeté orthogonal, le vecteur MH est orthogonal à tout vecteur de la direction de P, en particulier au vecteur HQ (H et Q appartenant tous deux à P).
3.Le triangle MHQ est donc rectangle en H : d'après le théorème de Pythagore, MQ² = MH² + HQ².
4.Comme Q est différent de H, HQ² est strictement positif, donc MQ² est strictement supérieur à MH² ; et comme MQ et MH sont des longueurs positives, cette inégalité entre les carrés donne : MQ est strictement supérieur à MH.
5.Cette inégalité est vraie pour TOUT point Q de P distinct de H : H est donc, parmi tous les points de P, celui qui est le plus proche de M.
Le projeté orthogonal H d'un point M sur un plan P est l'unique point de P tel que MH soit minimale : c'est le point de P le plus proche de M.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Le plan P a pour équation x = 0, et M a pour coordonnées (5 ; 3 ; −2). Le projeté orthogonal de M sur P est H(0 ; 3 ; −2) : MH = 5.
2.Prenons un autre point de P, par exemple O(0 ; 0 ; 0).
3.MO = √(5² + 3² + 2²) = √(25 + 9 + 4) = √38 ≈ 6,16.
4.MO ≈ 6,16 est bien supérieure à MH = 5 : H reste plus proche de M que O, comme le prévoit la démonstration.