Fonctions · 2nde

Démonstration : les variations des fonctions carré, inverse, racine carrée

Trois fonctions, trois différences à factoriser : le signe de chacune donne le sens de variation.

La démonstration en vidéo

Le vocabulaire à connaître

quantité conjuguée: Pour une différence de racines carrées comme √b − √a, la quantité √b + √a que l'on utilise pour faire disparaître les racines.

Ce qu'on sait

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si, pour tous a et b de I avec a ≤ b, on a f(a) ≥ f(b) ; elle est croissante si a ≤ b entraîne f(a) ≤ f(b).
Pour comparer f(a) et f(b), j'étudie le signe de leur différence.
b² − a² = (b − a)(b + a) ; 1/a − 1/b = (b − a)/(ab) ; √b − √a = (b − a)/(√b + √a) pour a et b positifs et non tous deux nuls.

La méthode, étape par étape

1.Fonction carré, cas négatif : je prends a et b avec a ≤ b ≤ 0. Je calcule b² − a² = (b − a)(b + a) : le premier facteur est positif ou nul (b ≥ a), le second est négatif ou nul (a et b négatifs ou nuls). Le produit est négatif ou nul : b² ≤ a², la fonction carré est décroissante sur les négatifs.

2.Fonction carré, cas positif : je prends maintenant 0 ≤ a ≤ b. Cette fois b + a ≥ 0, et b − a ≥ 0 toujours : le produit est positif ou nul, donc a² ≤ b², la fonction carré est croissante sur les positifs.

3.Fonction inverse : je prends a et b strictement positifs, avec a ≤ b. Je calcule 1/a − 1/b = (b − a)/(ab) : le numérateur est positif ou nul, le dénominateur strictement positif. Donc 1/b ≤ 1/a : la fonction inverse est décroissante sur les positifs, et le même raisonnement (a et b strictement négatifs) la montre décroissante sur les négatifs.

4.Fonction racine carrée : je prends 0 ≤ a ≤ b. Si a = b, les deux images sont égales et il n'y a rien à démontrer ; je suppose donc a différent de b, ce qui rend b strictement positif. En multipliant par la , √b − √a = (b − a)/(√b + √a) : le numérateur est positif, le dénominateur strictement positif. Donc √a ≤ √b : la fonction racine carrée est croissante sur les positifs.

La fonction carré décroît sur les négatifs puis croît sur les positifs ; la fonction inverse décroît sur chacun des deux intervalles séparément ; la fonction racine carrée croît sur les positifs.

C.Q.F.D.

L'exemple au propre

1.Carré : avec a = −3 et b = −1 (a ≤ b ≤ 0), (−3)² = 9 et (−1)² = 1. 9 ≥ 1 : conforme à la décroissance sur les négatifs.

2.Inverse : avec a = 2 et b = 5, 1/2 = 0,5 et 1/5 = 0,2. 0,2 ≤ 0,5 : conforme à la décroissance.

3.Racine carrée : avec a = 4 et b = 9, √4 = 2 et √9 = 3. 2 ≤ 3 : conforme à la croissance.

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