Fonctions · 2nde

Démonstration : la position relative des courbes de référence x, x² et x³

Sur [0 ; 1], les trois courbes se tiennent tassées sous la droite ; au-delà de 1, elles se dépassent dans l'autre sens.

La démonstration en vidéo

Le vocabulaire à connaître

position relative: Comparer les valeurs de deux fonctions pour une même valeur de x revient à étudier le signe de leur différence.

Ce qu'on sait

Comparer deux quantités revient à étudier le signe de leur différence.
x² − x = x(x − 1) et x³ − x² = x²(x − 1) : deux différences factorisées par x, ou par x².
Pour x positif ou nul, x et x² sont eux-mêmes positifs ou nuls.

La méthode, étape par étape

1.Je calcule la différence x² − x, que je factorise : x² − x = x(x − 1).

2.Pour x supérieur ou égal à 0, x est positif ou nul : le signe de x(x − 1) est donc celui de (x − 1). Je distingue deux cas.

3.Si x est compris entre 0 et 1 : x − 1 ≤ 0, donc x(x − 1) ≤ 0, soit x² ≤ x : la courbe de x² est en dessous de celle de x.

4.Si x est supérieur ou égal à 1 : x − 1 ≥ 0, donc x(x − 1) ≥ 0, soit x² ≥ x : la courbe de x² est au-dessus de celle de x.

5.Je fais le même raisonnement pour x³ − x² = x²(x − 1) : x² est toujours positif ou nul, donc le signe de cette différence est encore celui de (x − 1).

6.Sur [0 ; 1], j'obtiens donc x³ ≤ x² ≤ x ; sur [1 ; +∞[, l'ordre s'inverse : x ≤ x² ≤ x³. Les trois courbes se croisent seulement en x = 0 et en x = 1.

Sur [0 ; 1], x³ ≤ x² ≤ x ; sur [1 ; +∞[, x ≤ x² ≤ x³ — les courbes se croisent seulement en 0 et en 1.

C.Q.F.D.

L'exemple au propre

1.Prenons x = 0,5 (dans [0 ; 1]).

2.0,5² = 0,25.

3.0,5³ = 0,125.

4.0,125 ≤ 0,25 ≤ 0,5 : on retrouve bien x³ ≤ x² ≤ x.

5.Prenons maintenant x = 2 (dans [1 ; +∞[).

6.2² = 4 et 2³ = 8. 2 ≤ 4 ≤ 8 : l'ordre s'est bien inversé.

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