Analyse · 1re
Démonstration : le calcul de cos(π/4), sin(π/4), cos(π/3), sin(π/3)
Un carré coupé en deux, un triangle équilatéral : Un triangle dont les trois côtés ont la même longueur, et dont les trois angles valent chacun π/3 (60°). coupé en deux : deux figures suffisent à retrouver quatre valeurs remarquables.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- triangle isocèle
- Un triangle qui a deux côtés de même longueur, et donc deux angles égaux.
- triangle équilatéral
- Un triangle dont les trois côtés ont la même longueur, et dont les trois angles valent chacun π/3 (60°).
Ce qu'on sait
- Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le rapport côté adjacent sur hypoténuse, le sinus est le rapport côté opposé sur hypoténuse.
- Le théorème de Pythagore relie les longueurs des côtés d'un triangle rectangle.
- Un carré de côté 1 a une diagonale qui le coupe en deux triangles rectangles isocèles ; un triangle équilatéral de côté 1 a une hauteur qui le coupe en deux triangles rectangles.
La méthode, étape par étape
1.Demi-carré : je considère un carré de côté 1, coupé en deux par sa diagonale : j'obtiens un triangle rectangle isocèle dont les deux angles aigus valent π/4.
2.Par le théorème de Pythagore, la diagonale (l'hypoténuse) mesure √(1² + 1²) = √2.
3.Dans ce triangle, cos(π/4) et sin(π/4) valent tous deux le rapport côté sur hypoténuse, soit 1/√2, dont je rends le dénominateur rationnel : 1/√2 = √2/2.
4.Triangle équilatéral : je considère un triangle équilatéral de côté 1, dont chaque angle vaut π/3 ; sa hauteur le coupe en deux triangles rectangles.
5.La hauteur partage la base en deux segments de longueur 1/2 ; par Pythagore, la hauteur mesure √(1² − (1/2)²) = √(3/4) = √3/2.
6.Dans le triangle rectangle obtenu, cos(π/3) = (1/2)/1 = 1/2, et sin(π/3) = (√3/2)/1 = √3/2.
cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2 ; cos(π/3) = 1/2 et sin(π/3) = √3/2.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Vérifions avec π/3 : cos(π/3)² + sin(π/3)² = (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1.
2.Cette somme vaut bien 1, conforme à la relation entre cosinus et sinus d'un même réel.