Algèbre et géométrie · Tle
Démonstration : la relation de Pascal
Une même relation, deux regards : un calcul de fractions qui tombe juste, puis un argument de dénombrement qui rend ce calcul évident.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- relation de Pascal
- Pour 1 ≤ k ≤ n − 1, (ⁿₖ) = (ⁿ⁻¹ₖ₋₁) + (ⁿ⁻¹ₖ) : chaque coefficient du triangle de Pascal est la somme des deux qui sont juste au-dessus de lui.
Ce qu'on sait
- Le coefficient binomial se calcule par (ⁿₖ) = n! / (k! × (n − k)!).
- Compter un même ensemble de deux façons différentes prouve que les deux résultats sont égaux (principe du double comptage).
- Le principe additif s'applique à des cas disjoints qui recouvrent toutes les possibilités : leur somme donne le total.
La méthode, étape par étape
1.Je démontre d'abord la relation de Pascal PAR LE CALCUL, à partir de (ⁿ⁻¹ₖ₋₁) = (n − 1)! / ((k − 1)! × (n − k)!) et (ⁿ⁻¹ₖ) = (n − 1)! / (k! × (n − 1 − k)!).
2.Je mets ces deux fractions au même dénominateur k! × (n − k)!, en multipliant la première par k/k et la seconde par (n − k)/(n − k) : (ⁿ⁻¹ₖ₋₁) + (ⁿ⁻¹ₖ) = [k × (n − 1)! + (n − k) × (n − 1)!] / (k! × (n − k)!).
3.Je factorise le numérateur par (n − 1)! : k × (n − 1)! + (n − k) × (n − 1)! = (n − 1)! × (k + n − k) = n × (n − 1)! = n!. Le calcul donne donc (ⁿ⁻¹ₖ₋₁) + (ⁿ⁻¹ₖ) = n! / (k! × (n − k)!) = (ⁿₖ) : c'est la relation de Pascal, retrouvée PAR LE CALCUL.
4.Je la redémontre ensuite PAR UNE MÉTHODE COMBINATOIRE : je fixe un élément a d'un ensemble E à n éléments, et je classe les parties de E à k éléments selon qu'elles contiennent a ou non.
5.Les parties CONTENANT a s'obtiennent en choisissant les k − 1 éléments restants parmi les n − 1 autres éléments de E : il y en a (ⁿ⁻¹ₖ₋₁). Les parties NE CONTENANT PAS a s'obtiennent en choisissant les k éléments parmi ces mêmes n − 1 autres éléments : il y en a (ⁿ⁻¹ₖ).
6.Ces deux cas sont disjoints (une partie contient a ou ne le contient pas, jamais les deux) et recouvrent toutes les parties à k éléments de E : par le principe additif, (ⁿₖ) = (ⁿ⁻¹ₖ₋₁) + (ⁿ⁻¹ₖ).
Pour 1 ≤ k ≤ n − 1, (ⁿₖ) = (ⁿ⁻¹ₖ₋₁) + (ⁿ⁻¹ₖ) — la relation de Pascal, démontrée par le calcul et par une méthode combinatoire.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Prenons n = 5 et k = 2.
2.(⁴₁) = 4 et (⁴₂) = 6.
3.4 + 6 = 10.
4.Et (⁵₂) = 5! / (2! × 3!) = 120/(2 × 6) = 10 : les deux calculs coïncident, comme le prévoit la relation de Pascal.