Fonctions · 1re Bac SM

Étude et représentation : symétries, asymptotes, inflexion, domaines

Parité, période, et concavité : un plan d'étude pour tracer proprement n'importe quelle courbe.

Le vocabulaire à connaître

paire, impaire: f est paire si f(−x) = f(x) (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées), impaire si f(−x) = −f(x) (symétrique par rapport à l'origine).
point d'inflexion: Un point où la courbe traverse sa tangente : la dérivée seconde s'annule en changeant de signe.
asymptote: Une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment : verticale, horizontale ou oblique.

Pour réduire l'ensemble d'étude, j'utilise la parité (étudier sur [0 ; +∞[) et la périodicité (étudier sur une période).
Si f″ ≥ 0 sur I, la courbe est convexe (au-dessus de ses tangentes) ; si f″ ≤ 0, concave ; un changement de signe donne un .
Si lim f(x) = l en ±∞, la droite y = l est asymptote ; si x tend vers a avec une limite infinie, x = a est asymptote verticale.

1.Je détermine l'ensemble de définition et j'étudie la parité et la périodicité.

2.Je calcule les limites aux bornes et j'en déduis les asymptotes.

3.Je calcule f′, je dresse le tableau de variations, puis f″ pour la concavité.

4.Je trace la courbe avec asymptotes, tangentes et points remarquables.

Étudier une fonction : ensemble de définition, symétries, limites et asymptotes, variations, concavité, tracé.

C.Q.F.D.

1.Point d'inflexion de f(x) = x³ − 3x².

2.f′(x) = 3x² − 6x puis f″(x) = 6x − 6.

3.f″(1) = 6 × 1 − 6 = 0 ; f″ est négative avant 1 et positive après : changement de signe.

4.Le point d'inflexion est (1 ; −2), car f(1) = 1³ − 3 × 1² = −2.