Fonctions · 1re Bac SM

Fonctions : bornes, périodicité, composée, résolution graphique

Comparer, borner, composer : les fonctions se manipulent comme des nombres, et leur courbe répond aux équations sans calcul.

Le vocabulaire à connaître

majorée, minorée, bornée: Une fonction est majorée sur I par M si f(x) ≤ M pour tout x de I ; minorée si f(x) ≥ m ; bornée si elle est les deux.
périodique: f est périodique de période T si f(x + T) = f(x) pour tout x.
composée: g ∘ f est la fonction x ↦ g(f(x)).

Pour comparer deux expressions, j'étudie le signe de leur différence (ou le quotient par rapport à 1 pour des termes positifs).
Si f est croissante, alors f + λ l'est aussi, et λf l'est pour λ ≥ 0, décroissante pour λ ≤ 0.
Variations de g ∘ f : même sens pour f et g donne croissante, sens contraires donne décroissante.

1.Je calcule la différence des deux expressions et je la factorise.

2.J'étudie son signe : il donne la comparaison.

3.Pour une , je lis le sens de variation de f puis celui de g.

4.Pour une équation, je lis les abscisses d'intersection des courbes ; pour une inéquation, je regarde quelle courbe est au-dessus.

Deux fonctions de même sens de variation donnent une composée croissante ; de sens contraires, une composée décroissante.

C.Q.F.D.

1.Comparons x² + 25 et 10x.

2.La différence vaut (x² + 25) − 10x = (x − 5)², positive ou nulle : x² + 25 ≥ 10x.

3.Contrôle en x = 3 : 3² + 25 = 34 et 10 × 3 = 30, et 34 − 30 = 4 = (3 − 5)².

4.L'égalité n'a lieu qu'en x = 5.