Algèbre et géométrie · 2e Bac SE

Produit scalaire, orthogonalité et plans dans l'espace

Deux vecteurs sont-ils perpendiculaires ? Un seul calcul répond, et il décrit aussi tous les plans de l'espace.

Le vocabulaire à connaître

produit scalaire: Dans une base orthonormée, u ⋅ v = xx′ + yy′ + zz′ ; il vaut aussi ‖u‖ × ‖v‖ × cos(θ).
vecteur normal: Un vecteur non nul perpendiculaire à toutes les directions d'un plan.

u ⋅ v = 0 équivaut à u et v orthogonaux ; ‖u‖ = √(u ⋅ u).
Le plan de (a ; b ; c) a une équation ax + by + cz + d = 0 ; réciproquement, les coefficients de x, y, z donnent un vecteur normal.
La droite perpendiculaire au plan en un point A est dirigée par le vecteur normal : x = xA + a t, y = yA + b t, z = zA + c t. Distance : d(M, P) = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|/√(a² + b² + c²).

1.Je lis ou je calcule les coordonnées des vecteurs.

2.Pour l'orthogonalité, je calcule le : s'il est nul, les vecteurs sont orthogonaux.

3.Pour un plan, j'écris ax + by + cz + d = 0 avec le vecteur normal, puis je remplace les coordonnées de A pour trouver d.

4.Pour une droite perpendiculaire, je prends le vecteur normal comme vecteur directeur.

Orthogonaux ⇔ produit scalaire nul ; plan par A de normale n : ax + by + cz + d = 0 avec d = −(a xA + b yA + c zA).

C.Q.F.D.

1.Plan passant par A(0 ; 3 ; −1) de vecteur normal (3 ; 1 ; 1).

2.L'équation est 3x + y + z + d = 0.

3.En A : 3 × 0 + 1 × 3 + 1 × (−1) = 2, donc 2 + d = 0 et d = −2.

4.Le plan a pour équation 3x + y + z − 2 = 0.