Algèbre et géométrie · 2e Bac SE

Nombres complexes : calcul, forme trigonométrique et exponentielle

Un nombre à deux visages : cartésien pour additionner, polaire pour multiplier. On passe de l'un à l'autre en un geste.

Le vocabulaire à connaître

module et argument: Pour z = a + bi, le module est |z| = √(a² + b²) et l'argument θ vérifie a = |z| cos(θ) et b = |z| sin(θ).
forme exponentielle: z = r exp(iθ), avec exp(iθ) = cos(θ) + i sin(θ) (formule d'Euler).
conjugué: Le conjugué de a + bi est a − bi ; le produit (a + bi)(a − bi) = a² + b² est réel.

i² = −1 ; pour diviser, on multiplie haut et bas par le du dénominateur.
Moivre : (r exp(iθ))ⁿ = rⁿ exp(inθ) ; Euler : cos(θ) = (exp(iθ) + exp(−iθ))/2 et sin(θ) = (exp(iθ) − exp(−iθ))/(2i).
Produit : les modules se multiplient, les arguments s'ajoutent. En développant exp(ia) × exp(ib) = exp(i(a + b)), on retrouve les formules d'addition de cos et sin.

1.Pour la forme trigonométrique, je calcule le module, puis je cherche θ avec cos(θ) et sin(θ).

2.Pour une puissance, je passe à la et j'applique Moivre.

3.Pour linéariser cosⁿ(θ) ou sinⁿ(θ), j'utilise Euler, je développe avec le binôme et je regroupe les termes conjugués.

4.Je repasse à la forme algébrique si on le demande.

z = a + bi = r exp(iθ) avec r = √(a² + b²).

C.Q.F.D.

1.Écrire z = 1 + i√3 sous forme exponentielle.

2.Module : |z| = √(1 + 3) = √4 = 2.

3.cos(θ) = 1/2 et sin(θ) = √3/2 donnent θ = π/3.

4.Donc z = 2 exp(iπ/3), et z³ = 8 exp(iπ) = −8.