Algèbre et géométrie · 2e Bac SE

Sphères : équation, plan tangent et intersections

Une se décrit par un centre et un rayon ; une équation suffit pour la couper par un plan ou une droite.

Le vocabulaire à connaître

sphère: L'ensemble des points M tels que ΩM = R : centre Ω et rayon R.
plan tangent: Le plan qui touche la sphère en un seul point A ; il est perpendiculaire au rayon [ΩA].

La sphère de centre Ω(a ; b ; c) et de rayon R a pour équation (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².
Une équation x² + y² + z² + αx + βy + γz + δ = 0 se met sous cette forme en complétant les carrés ; c'est une sphère si le second membre est strictement positif.
L'ensemble des points M tels que MA ⋅ MB = 0 est la sphère de diamètre [AB]. Un plan P coupe la sphère selon un cercle si d(Ω, P) est inférieur à R, lui est tangent s'il est égal à R.

1.Je complète les carrés pour lire le centre et le rayon.

2.Pour une équation à paramètre, j'écris le second membre en fonction du paramètre et je le veux strictement positif.

3.Pour la position d'un plan, je calcule la distance du centre au plan et je la compare à R.

4.Pour le en A, je prends ΩA comme vecteur normal et je passe par A.

d(Ω, P) inférieur à R : cercle ; égal à R : tangent ; supérieur à R : vide.

C.Q.F.D.

1.Équation x² + y² + z² − 4x − 2y + 2z − 19 = 0.

2.Je complète : (x − 2)² + (y − 1)² + (z + 1)² = 19 + 4 + 1 + 1.

3.Le second membre vaut 19 + 4 + 1 + 1 = 25.

4.Centre Ω(2 ; 1 ; −1) et rayon √25 = 5.