Algèbre et géométrie · 2e Bac SE
Complexes : équations, géométrie et transformations
Les complexes traduisent la géométrie du plan : alignement, perpendiculaires, translations, rotations. Et ils résolvent toute équation du second degré.
Le vocabulaire à connaître
- affixe
- Le complexe z = x + iy associé au point M(x ; y). L'affixe du vecteur AB est zB − zA.
- écriture complexe d'une transformation
- La relation z′ = f(z) qui donne l'affixe de l'image.
Ce qu'on sait
- Si le discriminant est négatif, az² + bz + c = 0 a deux solutions conjuguées (−b ± i√|Δ|)/(2a).
- A, B, C sont alignés si (zC − zA)/(zB − zA) est réel ; (AB) et (AC) sont perpendiculaires si ce quotient est imaginaire pur.
- Translation : z′ = z + b ; homothétie de centre ω et de rapport k : z′ − ω = k(z − ω) ; rotation de centre ω et d'angle θ : z′ − ω = exp(iθ)(z − ω).
La méthode, étape par étape
1.Pour une équation du second degré, je calcule Δ ; s'il est négatif, j'écris les racines conjuguées.
2.Pour une équation en z⁴ ou en z + 1/z, je pose Z = z² (ou je multiplie par z) pour me ramener au second degré.
3.Pour la géométrie, je calcule le quotient (zC − zA)/(zB − zA) et j'étudie sa nature (réel, imaginaire pur).
4.Pour reconnaître une transformation, je regarde le coefficient de z : 1 pour une translation, réel différent de 1 pour une homothétie, de module 1 pour une rotation.
Δ négatif : z = (−b ± i√|Δ|)/(2a). Alignement : quotient réel. Perpendiculaires : quotient imaginaire pur.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Résoudre z² − 4z + 5 = 0.
2.Δ = (−4)² − 4 × 5 = −4, négatif.
3.Les racines carrées de Δ sont ±2i, car (2i)² = −4.
4.Les solutions sont z = (4 ± 2i)/2, soit 2 + i et 2 − i.
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