Algèbre et géométrie · 2e Bac SE

Produit vectoriel : aire, plan par trois points et distances

Un seul calcul donne un vecteur perpendiculaire à deux autres, et la norme de ce vecteur mesure une aire.

Le vocabulaire à connaître

produit vectoriel: Le vecteur u ∧ v, orthogonal à u et à v, de norme ‖u‖ × ‖v‖ × sin(θ).
base orthonormée directe: Une base dans laquelle i ∧ j = k, j ∧ k = i et k ∧ i = j.

Dans une , (x ; y ; z) ∧ (x′ ; y′ ; z′) = (yz′ − zy′ ; zx′ − xz′ ; xy′ − yx′).
Antisymétrie : v ∧ u = −u ∧ v ; le produit est nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
Aire du triangle ABC : (1/2) ‖AB ∧ AC‖. Distance de M à la droite passant par A et dirigée par u : ‖AM ∧ u‖/‖u‖.

1.Je calcule les coordonnées de AB et de AC.

2.Je calcule AB ∧ AC coordonnée par coordonnée.

3.Aire : j'en prends la norme et je divise par 2. Plan (ABC) : ce vecteur est un vecteur normal, j'écris l'équation avec A.

4.Alignement : le est le vecteur nul.

Aire = (1/2) ‖AB ∧ AC‖ ; AB ∧ AC est normal au plan (ABC).

C.Q.F.D.

1.A(1 ; 0 ; 0), B(2 ; 1 ; 1), C(3 ; 0 ; 2) : AB = (1 ; 1 ; 1) et AC = (2 ; 0 ; 2).

2.AB ∧ AC = (1 × 2 − 1 × 0 ; 1 × 2 − 1 × 2 ; 1 × 0 − 1 × 2) = (2 ; 0 ; −2).

3.Sa norme est √(4 + 0 + 4) = √8, soit 2√2.

4.L'aire vaut √8/2 = √2 unités d'aire.