Algèbre · 1re Bac SE
Suites arithmétiques et géométriques
Une épargne qui grossit de la même somme chaque semaine, un capital qui perd 20 % par an : deux suites, deux formules.
Le vocabulaire à connaître
- suite arithmétique
- Une suite où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, appelé la raison.
- suite géométrique
- Une suite où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q, appelé la raison.
Ce qu'on sait
- suite arithmétique : Une suite où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, appelé la raison. : uₙ₊₁ = uₙ + r et uₙ = u₀ + nr. La somme de termes consécutifs vaut (nombre de termes) × (premier + dernier) ÷ 2.
- suite géométrique : Une suite où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q, appelé la raison. : uₙ₊₁ = q × uₙ et uₙ = u₀ × qⁿ. La somme de termes consécutifs vaut (premier terme) × (1 − q puissance le nombre de termes) ÷ (1 − q), pour q différent de 1.
- Un ajout constant donne une suite arithmétique ; une évolution en pourcentage constant donne une suite géométrique.
La méthode, étape par étape
1.Je calcule uₙ₊₁ − uₙ : si c'est constant, la suite est arithmétique ; sinon j'essaie le quotient uₙ₊₁/uₙ.
2.J'écris le terme général à partir du premier terme et de la raison.
3.Pour une somme, je compte d'abord le nombre de termes, puis j'applique la formule.
4.Pour un problème, je traduis la situation : ajout fixe, suite arithmétique ; pourcentage fixe, suite géométrique.
Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q. Chaque type a son terme général et sa formule de somme.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Suite géométrique de premier terme u₀ = 3 et de raison 2.
2.u₄ = 3 × 2⁴ = 48.
3.La somme u₀ + u₁ + … + u₄ contient 5 termes.
4.S = 3 × (2⁵ − 1)/(2 − 1) = 3 × 31 = 93.