Algèbre · 1re Bac SE
Trigonométrie : formules de transformation
Un angle de 15° n'est pas sur la liste des angles usuels, mais il est la différence de deux angles qui y sont : les formules font le reste.
Le vocabulaire à connaître
- formule d'addition
- Une formule qui exprime le cosinus ou le sinus de a + b (ou de a − b) à partir de ceux de a et de b.
- formule de duplication
- Une formule qui exprime le cosinus ou le sinus de 2a à partir de ceux de a.
- linéariser
- Remplacer un carré cos²(x) ou sin²(x) par une expression de cos(2x), qui n'a plus de carré.
Ce qu'on sait
- cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b) et sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) ; pour a − b, on change le signe du second terme du cosinus et celui du second terme du sinus.
- cos(2a) = 2cos²(a) − 1 = 1 − 2sin²(a) et sin(2a) = 2sin(a)cos(a).
- a cos(x) + b sin(x) = R cos(x − θ) avec R = √(a² + b²) : sa valeur maximale est R.
La méthode, étape par étape
1.Je repère dans l'expression un angle somme, différence ou double.
2.J'applique la formule correspondante, en remplaçant par les valeurs usuelles.
3.Pour linéariser : Remplacer un carré cos²(x) ou sin²(x) par une expression de cos(2x), qui n'a plus de carré. un carré, j'isole cos²(x) ou sin²(x) dans la formule de duplication : Une formule qui exprime le cosinus ou le sinus de 2a à partir de ceux de a..
4.Pour a cos(x) + b sin(x), je factorise par √(a² + b²) et je reconnais un cosinus de différence.
Les formule d'addition : Une formule qui exprime le cosinus ou le sinus de a + b (ou de a − b) à partir de ceux de a et de b. et de duplication transforment un angle non usuel en angles usuels.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Je calcule cos(π/12) en écrivant π/12 = π/3 − π/4.
2.cos(π/12) = cos(π/3)cos(π/4) + sin(π/3)sin(π/4).
3.cos(π/12) = 1/2 × √2/2 + √3/2 × √2/2 = √2/4 + √6/4.
4.cos(π/12) = (√6 + √2)/4.