Analyse · 1re Bac SE
Nombre dérivé, tangente et approximation affine
De très près, une courbe ressemble à sa tangente : La droite qui touche la courbe en un point et en épouse la direction : son coefficient directeur est le nombre dérivé. : c'est ce qui permet d'estimer sans calculatrice une racine ou une puissance.
Le vocabulaire à connaître
- nombre dérivé
- Le nombre f′(a), limite du taux d'accroissement (f(a + h) − f(a))/h quand h tend vers 0.
- tangente
- La droite qui touche la courbe en un point et en épouse la direction : son coefficient directeur est le nombre dérivé.
- approximation affine
- Le remplacement de f(a + h) par f(a) + f′(a)h, valable quand h est proche de 0.
Ce qu'on sait
- Le nombre dérivé : Le nombre f′(a), limite du taux d'accroissement (f(a + h) − f(a))/h quand h tend vers 0. f′(a) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a.
- La tangente a pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a).
- Pour h proche de 0, f(a + h) ≈ f(a) + f′(a)h. Si le taux tend vers l'infini, la courbe a une tangente verticale.
La méthode, étape par étape
1.Je calcule la dérivée f′, puis le nombre dérivé f′(a) et la valeur f(a).
2.J'écris l'équation de la tangente avec la formule, puis je la réduis.
3.Pour une approximation, je choisis le point a où f et f′ se calculent facilement, et je pose h = x − a.
4.Je remplace dans f(a) + f′(a)h et je conclus.
Tangente : y = f′(a)(x − a) + f(a). Approximation : f(a + h) ≈ f(a) + f′(a)h.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Je cherche la tangente à f(x) = x² − 3x + 1 au point d'abscisse 3.
2.f′(x) = 2x − 3, donc f′(3) = 3.
3.f(3) = 9 − 9 + 1 = 1.
4.y = 3(x − 3) + 1 = 3x − 8.