Analyse · 1re Bac SE
Étude de fonctions : concavité, asymptotes, branches
Tracer une courbe à la main, c'est dresser son portrait : où elle monte, où elle se courbe, et vers quoi elle tend au loin.
Le vocabulaire à connaître
- asymptote
- Une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment.
- point d'inflexion
- Un point où la courbe traverse sa tangente, parce que la dérivée seconde y change de signe.
- branche parabolique
- Une branche infinie qui n'a pas d'asymptote : la courbe s'éloigne dans une direction donnée.
Ce qu'on sait
- Si f″ est positive, la courbe est convexe ; si f″ est négative, elle est concave ; elle a un point d'inflexion : Un point où la courbe traverse sa tangente, parce que la dérivée seconde y change de signe. là où f″ change de signe.
- asymptote : Une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment. verticale x = a si la limite en a est infinie ; horizontale y = b si la limite en l'infini est b ; oblique y = ax + b si f(x) − (ax + b) tend vers 0.
- Pour une branche infinie, j'étudie f(x)/x : il tend vers 0 (direction de l'axe des abscisses), vers l'infini (axe des ordonnées), ou vers un réel a non nul (direction de la droite y = ax).
La méthode, étape par étape
1.Je détermine l'ensemble de définition et les limites aux bornes.
2.Je calcule f′ et j'établis le tableau de variations.
3.Je calcule f″ pour la concavité et les points d'inflexion, puis j'étudie les branches infinies.
4.Je place les points remarquables et je trace la courbe.
Domaine, limites, variations, concavité, asymptotes : cinq repères pour tracer une courbe.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Je cherche le point d'inflexion de f(x) = x³ − 3x².
2.f′(x) = 3x² − 6x et f″(x) = 6x − 6 = 6(x − 1).
3.f″ est négative avant 1 et positive après : elle change de signe en x = 1.
4.f(1) = 1 − 3 = −2 : le point d'inflexion est (1 ; −2).