Algèbre · 1re Bac SE
Suites : majoration, monotonie et récurrence
Une suite peut grimper, redescendre ou se stabiliser : on le prouve avec une différence, un quotient ou une récurrence.
Le vocabulaire à connaître
- suite majorée
- Une suite dont tous les termes sont inférieurs ou égaux à un même nombre M, le majorant.
- suite minorée
- Une suite dont tous les termes sont supérieurs ou égaux à un même nombre m, le minorant.
- suite bornée
- Une suite à la fois majorée et minorée.
- hérédité
- L'étape d'une récurrence où l'on démontre : si la propriété est vraie au rang n, alors elle est vraie au rang n + 1.
Ce qu'on sait
- Pour la monotonie, j'étudie le signe de uₙ₊₁ − uₙ ; pour une suite de termes strictement positifs, je compare uₙ₊₁/uₙ à 1.
- Un encadrement valable pour tout n se démontre par récurrence : initialisation, puis hérédité : L'étape d'une récurrence où l'on démontre : si la propriété est vraie au rang n, alors elle est vraie au rang n + 1..
- Une suite bornée : Une suite à la fois majorée et minorée. peut ne pas être monotone, et une suite monotone peut ne pas être bornée.
La méthode, étape par étape
1.Je calcule les premiers termes pour deviner le comportement de la suite.
2.Pour la monotonie, je calcule uₙ₊₁ − uₙ et j'étudie son signe.
3.Pour un majorant ou un minorant, je démontre l'encadrement par récurrence.
4.Je conclus : croissante, décroissante, majorée, minorée, bornée.
Différence ou quotient pour la monotonie, récurrence pour l'encadrement.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.La suite u vérifie u₀ = 1 et uₙ₊₁ = uₙ/2 + 4. Je montre que 0 ≤ uₙ ≤ 8 pour tout n.
2.Initialisation : u₀ = 1 et 0 ≤ 1 ≤ 8.
3.Hérédité : je suppose 0 ≤ uₙ ≤ 8. Je divise par 2 : 0 ≤ uₙ/2 ≤ 4.
4.J'ajoute 4 : 4 ≤ uₙ/2 + 4 ≤ 8, c'est-à-dire 4 ≤ uₙ₊₁ ≤ 8.
5.Comme 4 est positif, 0 ≤ uₙ₊₁ ≤ 8 : la propriété passe de n à n + 1.