Algèbre · 1re Bac SE
Logique : quantificateurs et raisonnements
Une démonstration est un enchaînement où chaque pas se justifie : savoir choisir son raisonnement, c'est la moitié du travail.
Le vocabulaire à connaître
- proposition
- Un énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux.
- quantificateur
- Les mots « pour tout » et « il existe », qui disent si une propriété vaut pour tous les éléments ou pour au moins un.
- contraposée
- La contraposée de « si A alors B » est « si non B alors non A » : elle est vraie exactement quand la proposition de départ l'est.
- contre-exemple
- Un seul cas qui ne vérifie pas la propriété : il suffit à prouver qu'un « pour tout » est faux.
Ce qu'on sait
- La négation de « pour tout x, P(x) » est « il existe x tel que P(x) soit fausse » ; celle de « il existe » est « pour tout ».
- La réciproque de « si A alors B » est « si B alors A » : c'est une autre proposition : Un énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux., qui peut être fausse alors que la première est vraie.
- Pour prouver un « pour tout », il faut un raisonnement valable pour tous les cas ; pour le réfuter, un contre-exemple : Un seul cas qui ne vérifie pas la propriété : il suffit à prouver qu'un « pour tout » est faux. suffit.
La méthode, étape par étape
1.Je repère la forme de ce que je dois démontrer : implication, équivalence, « pour tout », « il existe ».
2.Je choisis le raisonnement : direct, par contraposée : La contraposée de « si A alors B » est « si non B alors non A » : elle est vraie exactement quand la proposition de départ l'est., par l'absurde (je suppose le contraire), par disjonction des cas, ou par récurrence quand la propriété dépend d'un entier n.
3.Je rédige chaque pas avec sa justification, sans sauter d'étape.
4.Je conclus en reprenant exactement l'énoncé à démontrer.
Choisir le raisonnement qui convient à la forme de l'énoncé, puis justifier chaque pas.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Je démontre par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, 1 + 3 + … + (2n − 1) = n².
2.Initialisation : pour n = 1, 1 = 1², la propriété est vraie.
3.Hérédité : je suppose 1 + 3 + … + (2n − 1) = n² pour un entier n.
4.J'ajoute le terme suivant, 2n + 1 : n² + (2n + 1) = n² + 2n + 1.
5.n² + 2n + 1 = (n + 1)² : la propriété est vraie au rang n + 1, donc pour tout n non nul.