Analyse · 1re Bac SE
Variations, extremums et optimisation
Le plus grand, le plus petit, le plus rentable : la dérivée dit où une grandeur monte, où elle redescend, et où elle culmine.
Le vocabulaire à connaître
- extremum local
- Une valeur maximale ou minimale de la fonction au voisinage d'un point.
- optimiser
- Chercher la valeur de la variable qui rend une grandeur maximale ou minimale.
Ce qu'on sait
- Si f′ est positive sur un intervalle, f y est croissante ; si f′ est négative, f y est décroissante.
- Quand f′ change de signe en a, f admet un extremum local : Une valeur maximale ou minimale de la fonction au voisinage d'un point. en a : maximum si f′ passe de + à −, minimum si elle passe de − à +.
- Une dérivée qui ne s'annule qu'en un point isolé sans changer de signe ne change pas le sens de variation.
La méthode, étape par étape
1.Je traduis le problème par une fonction d'une variable x, et je précise l'intervalle des valeurs possibles.
2.Je calcule f′ et je cherche ses zéros dans l'intervalle.
3.Je dresse le tableau de signes de f′, donc le tableau de variations de f.
4.Je lis l'extremum, je le calcule et j'interprète la réponse dans le problème.
Signe de f′, tableau de variations, lecture de l'extremum.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Un potager rectangulaire est clôturé avec 24 m de grillage. Si la longueur est x, la largeur vaut 12 − x.
2.A(x) = x(12 − x) = 12x − x², pour x entre 0 et 12.
3.A′(x) = 12 − 2x s'annule en x = 6, positive avant et négative après : c'est un maximum.
4.A(6) = 6 × 6 = 36 : l'aire maximale est 36 m².