Analyse · 1re Bac SE
Calculer des dérivées
Une table et cinq règles : avec elles, on dérive presque toutes les fonctions du programme.
Le vocabulaire à connaître
- dérivée
- La fonction f′ qui, à chaque x, associe le nombre dérivé de f en x : elle mesure la vitesse de variation de f.
- dérivée seconde
- La dérivée de la dérivée, notée f″.
Ce qu'on sait
- dérivée : La fonction f′ qui, à chaque x, associe le nombre dérivé de f en x : elle mesure la vitesse de variation de f. usuelles : (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹, (√x)′ = 1/(2√x), (1/x)′ = −1/x², sin′ = cos, cos′ = −sin.
- (u + v)′ = u′ + v′, (uv)′ = u′v + uv′, (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
- (uⁿ)′ = n u′ uⁿ⁻¹, (√u)′ = u′/(2√u) et (f(ax + b))′ = a f′(ax + b).
La méthode, étape par étape
1.J'identifie la forme de la fonction : somme, produit, quotient, puissance, racine, composée avec ax + b.
2.Je pose u et v, et je calcule u′ et v′ séparément.
3.J'applique la règle correspondante, sans oublier le facteur u′ des fonctions composées.
4.Je développe et je réduis le résultat.
Reconnaître la forme, poser u et v, appliquer la bonne règle.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Je dérive f(x) = (x² + 3)(2x − 1).
2.Je pose u = x² + 3 et v = 2x − 1 : u′ = 2x et v′ = 2.
3.f′(x) = 2x(2x − 1) + 2(x² + 3).
4.f′(x) = 4x² − 2x + 2x² + 6 = 6x² − 2x + 6.