Analyse · 1re Bac SE
Calculs de limites
Quand x devient immense, ou s'approche d'un point interdit, que fait f(x) ? Quelques règles suffisent, et une astuce pour les cas difficiles.
Le vocabulaire à connaître
- forme indéterminée
- Un calcul de limite dont la forme (comme 0/0 ou +∞ − ∞) ne permet pas de conclure : il faut transformer l'expression.
- limite à droite
- La limite quand x tend vers a par valeurs supérieures à a ; la limite à gauche utilise les valeurs inférieures.
Ce qu'on sait
- En ±∞, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré, et une fraction rationnelle comme le rapport de ses termes de plus haut degré.
- Limites usuelles en 0 : sin(x)/x → 1, tan(x)/x → 1 et (1 − cos(x))/x² → 1/2.
- Un nombre non nul divisé par un nombre qui tend vers 0 donne une limite infinie, dont le signe dépend du côté.
La méthode, étape par étape
1.Je remplace x par la valeur et je regarde si la forme est déterminée.
2.Si c'est 0/0, je factorise et je simplifie ; si c'est +∞ − ∞ avec des racines, je multiplie par la quantité conjuguée.
3.Pour les rationnelles en ±∞, je compare les degrés ou je factorise par le terme dominant.
4.Pour les fonctions trigonométriques, je me ramène aux limites usuelles par un changement de variable X = ax.
Déterminer la forme, la lever si elle est indéterminée, puis lire la limite.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Je calcule la limite de (x² − 9)/(x − 3) quand x tend vers 3.
2.En x = 3, numérateur et dénominateur valent 0 : c'est la forme indéterminée : Un calcul de limite dont la forme (comme 0/0 ou +∞ − ∞) ne permet pas de conclure : il faut transformer l'expression. 0/0.
3.x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
4.Pour x différent de 3, (x² − 9)/(x − 3) = x + 3.
5.limx ⟶ 3 (x + 3) = 6.