Algèbre · 1re Bac SE
Équations et inéquations trigonométriques
Sur le cercle trigonométrique : Le cercle de centre O et de rayon 1, sur lequel on lit le cosinus sur l'axe horizontal et le sinus sur l'axe vertical., résoudre une équation revient à repérer des points ; résoudre une inéquation, à colorier un arc.
Le vocabulaire à connaître
- cercle trigonométrique
- Le cercle de centre O et de rayon 1, sur lequel on lit le cosinus sur l'axe horizontal et le sinus sur l'axe vertical.
- solutions générales
- Toutes les solutions d'une équation, écrites avec un entier relatif k : le terme 2kπ fait faire k tours complets.
Ce qu'on sait
- cos(x) = cos(α) équivaut à x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ.
- sin(x) = sin(α) équivaut à x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ ; tan(x) = tan(α) équivaut à x = α + kπ.
- Pour une inéquation, les solutions forment un arc du cercle : je le lis, puis je garde ce qui est dans l'intervalle demandé.
La méthode, étape par étape
1.Je ramène l'équation à une forme fondamentale, en posant au besoin X = 2x ou X = cos(x).
2.Je reconnais la valeur usuelle α telle que cos(α), sin(α) ou tan(α) égale le nombre donné.
3.J'écris les deux familles de solutions, puis je choisis k pour rester dans l'intervalle.
4.Pour une inéquation, je lis sur le cercle l'arc situé du bon côté de la droite verticale (cosinus) ou horizontale (sinus).
Deux familles de solutions pour cosinus et sinus, une seule pour la tangente ; une inéquation se lit comme un arc.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Je résous sin(x) ≥ 1/2 dans l'intervalle [0 ; 2π].
2.sin(π/6) = 1/2 et sin(5π/6) = 1/2 : ce sont les deux points d'ordonnée 1/2.
3.Les points d'ordonnée supérieure ou égale à 1/2 forment l'arc situé au-dessus de la droite horizontale.
4.x ∈ [π/6 ; 5π/6].