Nombres et calculs · TC sciences

Comparer, valeur absolue, intervalles et encadrements

Pour comparer deux nombres, on peut étudier leur différence, leurs carrés ou un : à toi de choisir la bonne technique.

Le vocabulaire à connaître

valeur absolue: La distance de x à 0. |x| = x si x est positif ou nul, |x| = −x sinon.
intervalle: Un ensemble de réels compris entre deux bornes. Le crochet tourné vers l'intérieur inclut la borne, tourné vers l'extérieur il l'exclut.
encadrement: Une double inégalité qui donne une valeur minimale et une valeur maximale. L'amplitude est la différence entre les deux bornes.

Pour comparer a et b, j'étudie le signe de a − b ; pour deux nombres positifs, je peux comparer leurs carrés.
|x − a| ≤ r signifie que x est à une distance de a d'au plus r : a − r ≤ x ≤ a + r.
On additionne des encadrements membre à membre ; pour soustraire, on encadre d'abord l'opposé.

1.Je choisis la technique : différence, carrés, ou encadrement selon les nombres.

2.Pour un , je lis les bornes, puis la direction des crochets.

3.Pour un encadrement, j'additionne les bornes basses entre elles et les bornes hautes entre elles.

4.Je vérifie avec des valeurs extrêmes.

Une comparaison se fait par la différence, une est une distance, un encadrement se calcule borne à borne.

C.Q.F.D.

1.Encadrons x − y sachant que 2 ≤ x ≤ 5 et 1 ≤ y ≤ 3.

2.J'encadre d'abord l'opposé : −3 ≤ −y ≤ −1.

3.Bornes basses : 2 + (−3) = −1. Bornes hautes : 5 + (−1) = 4.

4.Donc −1 ≤ x − y ≤ 4.

5.Contrôle avec x = 5 et y = 1 : 5 − 1 = 4, c'est bien la borne haute.