Nombres et calculs · TC sciences

PGCD, PPCM et décomposition en facteurs premiers

Un seul geste, décomposer en facteurs premiers, donne les diviseurs, le et le d'un coup.

Le vocabulaire à connaître

nombre premier: Un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Par exemple 2, 3, 5, 7, 11.
PGCD: Le plus grand commun diviseur de deux nombres : le plus grand entier qui divise les deux.
PPCM: Le plus petit commun multiple de deux nombres : le plus petit entier non nul qui est multiple des deux.

Un entier est pair s'il s'écrit 2k, impair s'il s'écrit 2k + 1. Un produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.
Tout entier supérieur ou égal à 2 se décompose d'une seule façon en produit de facteurs premiers.
Pour deux entiers a et b, PGCD(a ; b) × PPCM(a ; b) = a × b.

1.Je divise le nombre par le plus petit possible (2, puis 3, puis 5…), et je recommence avec le quotient jusqu'à obtenir 1.

2.Je regroupe les facteurs identiques avec des exposants.

3.Pour le PGCD, je garde les facteurs communs avec leur plus petit exposant.

4.Pour le PPCM, je garde tous les facteurs avec leur plus grand exposant.

PGCD : facteurs communs au plus petit exposant. PPCM : tous les facteurs au plus grand exposant.

C.Q.F.D.

1.Cherchons le PGCD et le PPCM de 12 et 18.

2.Je décompose : 12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3².

3.Facteurs communs au plus petit exposant : 2 × 3 = 6, donc le PGCD est 6.

4.Tous les facteurs au plus grand exposant : 2² × 3² = 36, donc le PPCM est 36.

5.Contrôle : 6 × 36 = 216 et 12 × 18 = 216.