Algèbre · 1AC
Développer et factoriser : la distributivité
7 × 102 de tête ? Il suffit de couper 102 en 100 et 2.
Le vocabulaire à connaître
- développer
- Transformer un produit en somme : 3(x + 4) devient 3x + 12.
- factoriser
- Transformer une somme en produit en faisant apparaître un facteur commun : 3x + 12 devient 3(x + 4).
- facteur commun
- Un nombre qui divise tous les termes d'une somme.
Ce qu'on sait
- Pour tous nombres k, a et b : k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb.
- développer : Transformer un produit en somme : 3(x + 4) devient 3x + 12. et factoriser : Transformer une somme en produit en faisant apparaître un facteur commun : 3x + 12 devient 3(x + 4). sont deux chemins en sens contraire sur la même égalité.
- La distributivité sert aussi au calcul mental : 7 × 102 = 7 × 100 + 7 × 2.
La méthode, étape par étape
1.Pour développer, je multiplie le facteur placé devant la parenthèse par CHAQUE terme de la parenthèse.
2.Je garde le signe de chaque terme (un moins reste un moins).
3.Pour factoriser, je cherche le plus grand diviseur commun de tous les termes.
4.Je l'écris devant une parenthèse qui contient les termes divisés par ce facteur, puis je vérifie en redéveloppant.
k(a + b) = ka + kb : de gauche à droite on développe, de droite à gauche on factorise.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Je développe 4(x + 7) : je multiplie 4 par x, puis 4 par 7.
2.4 × 7 = 28, donc 4(x + 7) = 4x + 28.
3.Je factorise maintenant 6x + 15 : le plus grand diviseur commun de 6 et 15 est 3.
4.6x = 3 × 2x et 15 = 3 × 5, donc 6x + 15 = 3(2x + 5).
5.Je vérifie en redéveloppant : 3 × 2x = 6x et 3 × 5 = 15.