Géométrie · 1re Bac SE
Cercle : équation cartésienne et représentation paramétrique
Un cercle, c'est tous les points à la même distance du centre : cette phrase devient une équation, puis une trajectoire.
Le vocabulaire à connaître
- équation cartésienne
- Une équation en x et en y, vérifiée exactement par les points de la figure.
- représentation paramétrique
- Une écriture où x et y dépendent d'un même paramètre t : ici x = a + R cos(t) et y = b + R sin(t).
Ce qu'on sait
- Le cercle de centre (a ; b) et de rayon R a pour équation (x − a)² + (y − b)² = R².
- Pour x² + y² + αx + βy + γ = 0, je complète les carrés : le centre est (−α/2 ; −β/2) et R² = α²/4 + β²/4 − γ. Si R² est négatif, l'ensemble est vide ; s'il est nul, c'est un point.
- Les points M tels que MA ⋅ MB = 0 forment le cercle de diamètre [AB].
La méthode, étape par étape
1.Je regroupe les termes en x et les termes en y.
2.Je complète chaque carré pour faire apparaître (x − a)² et (y − b)².
3.Je lis le centre et R², je vérifie que R² est strictement positif.
4.Pour la forme paramétrique, j'écris x = a + R cos(t) et y = b + R sin(t).
Compléter les carrés donne le centre et le rayon, donc la représentation paramétrique : Une écriture où x et y dépendent d'un même paramètre t : ici x = a + R cos(t) et y = b + R sin(t)..
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Je cherche le centre et le rayon de x² + y² − 4x + 2y − 4 = 0.
2.x² − 4x = (x − 2)² − 4 et y² + 2y = (y + 1)² − 1.
3.(x − 2)² − 4 + (y + 1)² − 1 − 4 = 0, donc (x − 2)² + (y + 1)² = 9.
4.Le centre est (2 ; −1) et le rayon est √9 = 3.
5.Une représentation paramétrique est x = 2 + 3cos(t), y = −1 + 3sin(t).