Géométrie · 1re Bac SE
Rotation : images de points, cercles et droites
Un tour de manège autour d'un centre : tout se déplace, mais les distances et les angles ne changent pas.
Le vocabulaire à connaître
- rotation
- Une transformation définie par un centre C et un angle orienté θ : chaque point M tourne autour de C de l'angle θ.
- angle orienté
- Un angle dont le signe dit le sens : positif dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens direct).
- isométrie
- Une transformation qui conserve les distances.
Ce qu'on sait
- Une rotation : Une transformation définie par un centre C et un angle orienté θ : chaque point M tourne autour de C de l'angle θ. conserve les distances, les angle orienté : Un angle dont le signe dit le sens : positif dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens direct). et les barycentres : l'image d'un segment est un segment de même longueur, d'un cercle un cercle de même rayon.
- Quart de tour direct autour de O : (x ; y) → (−y ; x) ; quart de tour indirect : (x ; y) → (y ; −x) ; demi-tour : (x ; y) → (−x ; −y).
- La rotation réciproque a le même centre et l'angle opposé.
La méthode, étape par étape
1.Je me place dans un repère d'origine le centre : je calcule les coordonnées du vecteur centre-point.
2.J'applique la formule du quart de tour (ou du demi-tour) à ces coordonnées.
3.J'ajoute les coordonnées du centre pour revenir au repère de départ.
4.Pour un cercle, je tourne son centre et je garde le rayon ; pour une droite, je tourne un point et un vecteur directeur.
Image d'un point : tourner le vecteur centre-point, puis ajouter le centre.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Image de A(4 ; 2) par la rotation de centre C(1 ; 1) et d'angle π/2.
2.Le vecteur CA a pour coordonnées (4 − 1 ; 2 − 1) = (3 ; 1).
3.Le quart de tour direct le transforme en (−1 ; 3).
4.J'ajoute C : (1 + (−1) ; 1 + 3) = (0 ; 4).
5.A′ a pour coordonnées (0 ; 4).