Géométrie · 1re Bac SE

Barycentre : définition, coordonnées, simplification

Le point d'équilibre de deux masses sur une balançoire : c'est un , et il se calcule avec une simple formule.

Le vocabulaire à connaître

points pondérés: Des points affectés chacun d'un coefficient, par exemple (A ; 2) et (B ; 3).
barycentre: Le point G tel que la somme des coefficients multipliés par les vecteurs GA, GB… est le vecteur nul. Il existe quand la somme des coefficients n'est pas nulle.
isobarycentre: Le barycentre de points tous affectés du même coefficient : pour deux points, c'est le milieu ; pour trois points, le centre de gravité.

G est le barycentre de (A ; a), (B ; b) avec a + b différent de 0 quand aGA + bGB = 0. Pour tout point M, aMA + bMB = (a + b)MG.
Dans un repère, x_G = (a × x_A + b × x_B)/(a + b), et de même pour y_G ; avec trois points on ajoute le troisième terme et on divise par la somme des trois coefficients.
Homogénéité : multiplier tous les coefficients par un même réel non nul ne change pas G. Avec a et b positifs, G est sur le segment [AB] ; avec un coefficient négatif, il est à l'extérieur.

1.Je vérifie que la somme des coefficients n'est pas nulle.

2.Pour construire G, j'exprime AG = (b/(a + b))AB et je place G sur la droite (AB).

3.Pour les coordonnées, je multiplie chaque coordonnée par son coefficient, j'additionne, puis je divise par la somme des coefficients.

4.Pour simplifier une expression vectorielle, je remplace la somme pondérée par (somme des coefficients) fois le vecteur MG.

G = barycentre de (A ; a), (B ; b) : AG = (b/(a + b))AB.

C.Q.F.D.

1.A(0 ; 4), B(10 ; −1) et G le barycentre de (A ; 2), (B ; 3).

2.La somme des coefficients vaut 2 + 3 = 5, elle n'est pas nulle : G existe.

3.x_G = (2 × 0 + 3 × 10)/5 = 30/5 = 6.

4.y_G = (2 × 4 + 3 × (−1))/5 = 5/5 = 1.

5.G a pour coordonnées (6 ; 1).