Géométrie · 1re Bac SE

Produit scalaire analytique et droite

Avec des coordonnées, longueur, angle, perpendicularité et distance à une droite se calculent sans rien tracer.

Le vocabulaire à connaître

produit scalaire: Le nombre xx′ + yy′ associé à deux vecteurs de coordonnées (x ; y) et (x′ ; y′) dans un repère orthonormé.
vecteur normal: Un vecteur perpendiculaire à une droite : pour la droite ax + by + c = 0, le vecteur (a ; b) est normal.

Dans un repère orthonormé, u ⋅ v = xx′ + yy′ et ‖u‖ = √(x² + y²). Deux vecteurs sont orthogonaux si leur est nul.
cos(θ) = u ⋅ v/(‖u‖ × ‖v‖), et l'aire d'un triangle vaut (1/2) × AB × AC × sin(A).
La droite par A de (a ; b) a pour équation a(x − x_A) + b(y − y_A) = 0 ; la distance de M à ax + by + c = 0 vaut |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²).

1.Je calcule les coordonnées des vecteurs utiles à partir des points.

2.Je calcule le produit scalaire et les normes, puis j'en déduis l'angle ou la perpendicularité.

3.Pour une droite, je prends son vecteur normal (a ; b) et j'écris l'équation avec un point.

4.Pour une distance, je remplace les coordonnées du point dans la formule.

Produit scalaire : xx′ + yy′. Distance à une droite : |ax₀ + by₀ + c| divisé par √(a² + b²).

C.Q.F.D.

1.Distance du point M(−1 ; 5) à la droite 3x + 4y + 2 = 0.

2.|3 × (−1) + 4 × 5 + 2| = |−3 + 20 + 2| = 19.

3.√(3² + 4²) = √25 = 5.

4.d = 19/5.