Géométrie · 1re Bac SE
Barycentre : alignement, concourance, problèmes
Pour montrer que trois points sont alignés ou que trois droites se coupent, on cherche un barycentre qui les relie.
Le vocabulaire à connaître
- associativité
- On peut remplacer des points pondérés par leur barycentre, affecté de la somme de leurs coefficients, sans changer le barycentre final.
- concourantes
- Des droites sont concourantes quand elles passent toutes par un même point.
- centre de masse
- Le point d'équilibre d'un système de masses : c'est le barycentre des points, affectés de leurs masses.
Ce qu'on sait
- associativité : On peut remplacer des points pondérés par leur barycentre, affecté de la somme de leurs coefficients, sans changer le barycentre final. : si H est le barycentre de (A ; a), (B ; b), alors G, barycentre de (A ; a), (B ; b), (C ; c), est aussi le barycentre de (H ; a + b), (C ; c).
- Un barycentre de deux points est sur la droite qui les joint : c'est ainsi qu'on prouve un alignement.
- Si trois droites contiennent chacune un même barycentre G, elles sont concourantes : Des droites sont concourantes quand elles passent toutes par un même point. en G.
La méthode, étape par étape
1.Je cherche un système de points pondérés dont le barycentre est le point voulu.
2.J'applique l'associativité pour regrouper deux points en leur barycentre partiel.
3.Je conclus : G est sur la droite joignant les deux points du dernier regroupement.
4.Pour un problème physique, je prends les masses comme coefficients.
Aligner ou faire concourir, c'est écrire un même barycentre de plusieurs façons.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Sur une balançoire de 8 m, Yassine (45 kg) est en A et Hiba (15 kg) est en B. Où placer le pivot ?
2.Le pivot est le barycentre G de (A ; 45), (B ; 15).
3.AG = (15/60)AB : G est aux 15/60 du chemin de A vers B.
4.AG = 15/60 × 8 = 2 : le pivot est à 2 m de A, du côté du plus lourd.