Géométrie · 1re Bac SE
Vecteurs de l'espace : colinéarité et coplanarité
Dans l'espace comme dans le plan, les vecteurs s'additionnent : une troisième direction, et la coplanarité en plus.
Le vocabulaire à connaître
- colinéaires
- Deux vecteurs sont colinéaires quand l'un est un multiple de l'autre : même direction.
- coplanaires
- Trois vecteurs sont coplanaires quand ils peuvent être représentés dans un même plan, c'est-à-dire quand l'un est combinaison linéaire des deux autres.
Ce qu'on sait
- La relation de Chasles AB + BC = AC et les règles de calcul sont les mêmes que dans le plan.
- Trois points A, B, C sont alignés si AC = kAB ; M est dans le plan (A ; u, v) si AM = xu + yv.
- Trois vecteurs u, v, w, avec u et v non colinéaires : Deux vecteurs sont colinéaires quand l'un est un multiple de l'autre : même direction., sont coplanaires : Trois vecteurs sont coplanaires quand ils peuvent être représentés dans un même plan, c'est-à-dire quand l'un est combinaison linéaire des deux autres. si w = αu + βv.
La méthode, étape par étape
1.Pour une colinéarité, je cherche le réel k tel que l'un des vecteurs égale k fois l'autre.
2.Pour une coplanarité, j'écris w = αu + βv et je résous coordonnée par coordonnée.
3.Je vérifie avec la dernière coordonnée.
4.J'applique à un problème : alignement de points, milieux, parallélisme.
Colinéaires : un multiple de l'autre. Coplanaires : une combinaison linéaire des deux autres.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.u(1 ; 0 ; 1), v(0 ; 1 ; 2) et w(−2 ; 4 ; 6) : je cherche α et β.
2.Première coordonnée : α × 1 + β × 0 = −2, donc α = −2.
3.Deuxième coordonnée : α × 0 + β × 1 = 4, donc β = 4.
4.Troisième coordonnée : (−2) × 1 + 4 × 2 = 6, comme w.
5.Donc w = −2u + 4v : les trois vecteurs sont coplanaires.