Géométrie · 1re Bac SE
Cercle et droite : positions, tangente, lieux
Une droite peut traverser un cercle, le frôler ou l'ignorer : la distance du centre à la droite tranche.
Le vocabulaire à connaître
- sécante
- Une droite qui coupe le cercle en deux points.
- tangente
- Une droite qui touche le cercle en un seul point, perpendiculaire au rayon en ce point.
Ce qu'on sait
- Je compare la distance d du centre à la droite avec le rayon R : d inférieure à R, sécante : Une droite qui coupe le cercle en deux points. ; d égale à R, tangente : Une droite qui touche le cercle en un seul point, perpendiculaire au rayon en ce point. ; d supérieure à R, extérieure.
- La tangente en A au cercle de centre C est la droite qui passe par A et de vecteur normal CA.
- Pour les points d'intersection, je remplace y par son expression dans l'équation du cercle et je résous.
La méthode, étape par étape
1.Je calcule la distance du centre à la droite et je la compare au rayon.
2.Pour la tangente en A, je prends CA comme vecteur normal et j'écris l'équation avec le point A.
3.Pour l'intersection, je résous l'équation du second degré obtenue en substituant.
4.Pour un lieu de points, je pose M(x ; y), j'écris la condition en coordonnées et je simplifie.
Distance du centre comparée au rayon ; tangente = perpendiculaire au rayon.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Tangente en A(3 ; 4) au cercle de centre O(0 ; 0).
2.Le vecteur OA = (3 ; 4) est normal à la tangente.
3.3(x − 3) + 4(y − 4) = 0.
4.3x − 9 + 4y − 16 = 0, soit 3x + 4y − 25 = 0.