Géométrie · 2nde
Distance entre deux points et milieu d'un segment
La distance entre deux points se cache dans les coordonnées de leur vecteur.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- norme
- La longueur d'un vecteur : pour u(x ; y), ‖u‖ = √(x² + y²).
- milieu
- Le point exactement à mi-chemin entre deux extrémités d'un segment.
Ce qu'on sait
- La norme : La longueur d'un vecteur : pour u(x ; y), ‖u‖ = √(x² + y²). d'un vecteur u(x ; y) est ‖u‖ = √(x² + y²).
- La distance AB est la norme du vecteur AB.
- Le milieu : Le point exactement à mi-chemin entre deux extrémités d'un segment. I de [AB] a pour coordonnées ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2).
La méthode, étape par étape
1.Je calcule les coordonnées du vecteur AB.
2.J'applique la formule de la norme pour trouver la distance AB.
3.Pour le milieu, je fais la moyenne des abscisses, puis la moyenne des ordonnées.
AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²) ; milieu I((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2).
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Calculons AB et le milieu I de [AB], pour A(1 ; −2) et B(5 ; 1).
2.AB = (5 − 1 ; 1 − (−2)) = (4 ; 3).
3.AB = √(4² + 3²) = √25 = 5.
4.I = ((1 + 5)/2 ; (−2 + 1)/2) = (3 ; −0,5).
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