Géométrie · 2nde

Démonstration : deux vecteurs colinéaires, un déterminant nul

Un seul calcul, xy′ − x′y, tranche entre deux vecteurs qui pointent dans la même direction ou non.

La démonstration en vidéo

Le vocabulaire à connaître

colinéaires: Deux vecteurs qui ont la même direction : il existe un réel k tel que l'un est k fois l'autre.

Ce qu'on sait

u(x ; y) et v(x′ ; y′) sont deux vecteurs du plan, dans une base orthonormée.
u et v sont s'il existe un réel k tel que v = k · u (ou si l'un des deux est nul).
Le déterminant de u et v est det(u ; v) = xy′ − x′y.

La méthode, étape par étape

1.Je suppose d'abord que u et v sont colinéaires, avec u non nul : il existe un réel k tel que v = k · u, donc x′ = kx et y′ = ky.

2.Je calcule alors le déterminant : det(u ; v) = xy′ − x′y = x(ky) − (kx)y = kxy − kxy = 0.

3.Réciproquement, je suppose que det(u ; v) = 0, c'est-à-dire xy′ = x′y, et je distingue deux cas selon x.

4.Si x est différent de 0, je pose k = x′/x : l'égalité xy′ = x′y donne y′ = (x′/x)y = ky, donc v = k · u : les vecteurs sont colinéaires.

5.Si x = 0, l'égalité xy′ = x′y devient 0 = x′y. Si y est différent de 0, alors x′ = 0 aussi, et u, v sont tous deux verticaux, donc colinéaires ; si y = 0 aussi, u est nul et il est colinéaire à tout vecteur par convention.

6.Dans tous les cas, det(u ; v) = 0 entraîne que u et v sont colinéaires : l'équivalence est établie.

u et v sont colinéaires si et seulement si det(u ; v) = xy′ − x′y = 0.

C.Q.F.D.

L'exemple au propre

1.Vérifions que u(4 ; −2) et v(−6 ; 3) sont colinéaires.

2.det(u ; v) = 4 × 3 − (−6) × (−2) = 12 − 12 = 0.

3.Le déterminant est nul, donc u et v sont colinéaires : en effet, v = −1,5 × u.

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