Géométrie · 2nde
Colinéarité : le déterminant qui dit oui ou non
Un seul nombre décide si deux vecteurs pointent dans la même direction : le déterminant : Pour u(x ; y) et v(x′ ; y′), le nombre det(u ; v) = xy′ − x′y..
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- colinéaires
- Deux vecteurs qui ont la même direction : l'un est le produit de l'autre par un réel (ou l'un des deux est nul).
- déterminant
- Pour u(x ; y) et v(x′ ; y′), le nombre det(u ; v) = xy′ − x′y.
Ce qu'on sait
- Deux vecteurs sont colinéaires : Deux vecteurs qui ont la même direction : l'un est le produit de l'autre par un réel (ou l'un des deux est nul). si l'un est le produit de l'autre par un réel, ou si l'un des deux est nul.
- det(u ; v) = xy′ − x′y, pour u(x ; y) et v(x′ ; y′).
- Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires.
La méthode, étape par étape
1.Je repère les coordonnées des deux vecteurs.
2.Je calcule le déterminant : xy′ − x′y.
3.Si le déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires ; sinon, ils ne le sont pas.
4.Pour un alignement, je calcule le déterminant de AB et AC.
det(u ; v) = 0 si et seulement si u et v sont colinéaires.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.u(3 ; 6) et v(2 ; 4) sont-ils colinéaires ?
2.det(u ; v) = 3 × 4 − 2 × 6 = 12 − 12 = 0.
3.Le déterminant est nul, donc u et v sont colinéaires.
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