Algèbre · 1re
Démonstration : la résolution de l'équation du second degré
Un seul calcul, le discriminant, tranche entre trois destins possibles pour une équation du second degré : deux solutions, une seule, ou aucune.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- disjonction de cas
- Un raisonnement qui distingue plusieurs situations possibles (ici, selon le signe de Δ) et traite chacune séparément, pour couvrir tous les cas.
Ce qu'on sait
- Je considère l'équation ax² + bx + c = 0, avec a différent de 0.
- L'identité de complétion du carré permet d'écrire x² + 2αx = (x + α)² − α².
- Le discriminant est défini par Δ = b² − 4ac.
La méthode, étape par étape
1.Je mets ax² + bx + c sous forme canonique, en factorisant par a puis en complétant le carré : ax² + bx + c = a[(x + b/(2a))² − Δ/(4a²)], où Δ = b² − 4ac.
2.Résoudre ax² + bx + c = 0 revient alors à résoudre (x + b/(2a))² = Δ/(4a²), ce qui ramène le problème au signe de Δ. Je distingue trois cas.
3.Premier cas, Δ strictement positif : Δ/(4a²) est strictement positif, donc x + b/(2a) = ±√Δ/(2a). J'obtiens deux solutions distinctes : x = (−b − √Δ)/(2a) et x = (−b + √Δ)/(2a).
4.Deuxième cas, Δ nul : l'équation devient (x + b/(2a))² = 0, qui n'a qu'une seule solution : x = −b/(2a) (une racine double).
5.Troisième cas, Δ strictement négatif : Δ/(4a²) est strictement négatif, or un carré ne peut jamais être négatif — l'équation n'a donc aucune solution réelle.
Δ = b² − 4ac : si Δ est strictement positif, deux solutions x = (−b ± √Δ)/(2a) ; si Δ est nul, une solution double x = −b/(2a) ; si Δ est strictement négatif, aucune solution réelle.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Résolvons x² − x − 6 = 0 (a = 1, b = −1, c = −6).
2.Δ = (−1)² − 4 × 1 × (−6) = 1 + 24 = 25.
3.Δ = 25 est strictement positif, et √25 = 5 : il y a deux solutions.
4.x₁ = (1 − 5)/2 = −2 et x₂ = (1 + 5)/2 = 3.
5.Je vérifie : (−2)² − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0 et 3² − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0.