Analyse · 1re
Démonstration : la fonction dérivée de la fonction carrée, de la fonction inverse
Deux calculs de taux de variation, deux formules de dérivées à retenir pour toute l'année.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- réduction au même dénominateur
- Regrouper deux fractions comme 1/(a+h) et 1/a sous un seul dénominateur commun pour pouvoir les soustraire.
Ce qu'on sait
- Le nombre dérivé en a est le nombre dont se rapproche le taux de variation (f(a + h) − f(a))/h quand h se rapproche de 0.
- Développer : (a + h)² = a² + 2ah + h².
La méthode, étape par étape
1.Fonction carré : je calcule le taux de variation entre a et a + h : ((a + h)² − a²)/h.
2.Je développe le numérateur : (a + h)² − a² = a² + 2ah + h² − a² = 2ah + h² = h(2a + h).
3.Je simplifie par h (non nul) : le taux de variation vaut 2a + h, qui se rapproche de 2a quand h se rapproche de 0. La fonction dérivée de la fonction carré est donc x ↦ 2x.
4.Fonction inverse : je calcule le taux de variation entre a et a + h (a ≠ 0) : (1/(a + h) − 1/a)/h, que je réduis au même dénominateur : (a − (a + h))/(a(a + h)h) = −h/(a(a + h)h) = −1/(a(a + h)).
5.Quand h se rapproche de 0, −1/(a(a + h)) se rapproche de −1/a². La fonction dérivée de la fonction inverse est donc x ↦ −1/x².
La fonction dérivée de la fonction carré est x ↦ 2x ; celle de la fonction inverse est x ↦ −1/x².
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour la fonction carré en a = 3, avec h = 0,01 : le taux de variation vaut ((3,01)² − 3²)/0,01 = 6,01, proche de 2 × 3 = 6.
2.Pour la fonction inverse en a = 2, avec h = 0,01 : le taux de variation vaut environ −0,249, proche de −1/2² = −0,25.