Nombres et calculs · 2nde
Démonstration : le carré d'un nombre impair est impair
Un nombre impair : Un entier qui s'écrit 2k + 1, où k est un entier. au carré reste impair : la preuve tient en une factorisation.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- nombre impair
- Un entier qui s'écrit 2k + 1, où k est un entier.
Ce qu'on sait
- Un nombre impair s'écrit 2k + 1, où k est un entier.
- (2k + 1)² se développe avec l'identité (a + b)² = a² + 2ab + b².
La méthode, étape par étape
1.Je considère un nombre impair quelconque : je le note 2k + 1, où k est un entier.
2.Je développe son carré avec l'identité (a + b)² = a² + 2ab + b² : (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1.
3.Je factorise les deux premiers termes par 2 : 4k² + 4k = 2 × (2k² + 2k).
4.(2k + 1)² = 2 × (2k² + 2k) + 1. Comme 2k² + 2k est un entier, 2 × (2k² + 2k) est pair, et un nombre pair plus 1 est impair.
Le carré d'un nombre impair est impair.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Prenons le nombre impair 9, soit 2 × 4 + 1 (k = 4).
2.9² = 81.
3.4 × 4² = 64 et 4 × 4 = 16.
4.64 + 16 + 1 = 81 : on retrouve bien 81, un nombre impair.