Analyse · Tle
Démonstration : la limite en +∞ et en −∞ de la fonction exponentielle
Étudier une simple différence entre l'exponentielle et une droite suffit à connaitre son comportement aux deux bouts de la droite réelle.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- fonction auxiliaire
- Une fonction construite exprès — ici g(x) = eˣ − x — pour ramener un problème de limite à une étude de variations plus simple.
Ce qu'on sait
- La fonction exponentielle vérifie exp′ = exp et est strictement positive sur ℝ.
- Une fonction dont la dérivée s'annule en changeant de signe admet un extremum en ce point.
- Le théorème de comparaison s'applique aussi aux fonctions : si f(x) ≥ g(x) et que g tend vers +∞, alors f tend aussi vers +∞.
La méthode, étape par étape
1.J'étudie la fonction auxiliaire : Une fonction construite exprès — ici g(x) = eˣ − x — pour ramener un problème de limite à une étude de variations plus simple. g(x) = eˣ − x, dérivable sur ℝ, de dérivée g′(x) = eˣ − 1.
2.Le signe de g′ : négatif pour x inférieur à 0 (eˣ inférieur à 1), nul en x = 0, positif pour x supérieur à 0. g admet donc un minimum en x = 0.
3.Ce minimum vaut g(0) = e⁰ − 0 = 1, strictement positif : donc g(x) ≥ 1 > 0 pour tout réel x, soit eˣ > x pour tout réel x.
4.En +∞ : comme eˣ > x et que x tend vers +∞, le théorème de comparaison donne eˣ tend vers +∞.
5.En −∞ : je pose t = −x, qui tend vers +∞ quand x tend vers −∞. J'écris eˣ = e⁻ᵗ = 1/eᵗ. Comme eᵗ tend vers +∞, 1/eᵗ tend vers 0.
6.Conclusion : eˣ tend vers +∞ en +∞, et vers 0 en −∞.
limx ⟶ +∞ eˣ = +∞ ; limx ⟶ −∞ eˣ = 0.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour x = 20 (grand), e²⁰ vaut environ 485 millions : bien supérieur à 20, conformément à eˣ > x.
2.Pour x = −20, e⁻²⁰ = 1/e²⁰ est extrêmement proche de 0.