Nombres et calculs · 2nde
Démonstration : illustration géométrique de (a + b)² = a² + 2ab + b²
Un grand carré découpé en quatre morceaux dit toute l'identité, sans une seule lettre.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- aire
- La mesure de la surface d'une figure : pour un rectangle de côtés x et y, l'aire vaut x × y.
Ce qu'on sait
- L'aire : La mesure de la surface d'une figure : pour un rectangle de côtés x et y, l'aire vaut x × y. d'un rectangle de côtés x et y vaut x × y.
- Un carré de côté a + b peut se découper en quatre morceaux à l'aide de deux traits.
La méthode, étape par étape
1.Je trace un carré de côté a + b, puis je le découpe par un trait vertical à la distance a du bord gauche, et un trait horizontal à la distance a du bord bas.
2.Ce découpage forme quatre morceaux : un carré de côté a (aire a²) dans un coin, un carré de côté b (aire b²) dans le coin opposé, et deux rectangles de côtés a et b (aire ab chacun) dans les deux autres coins.
3.L'aire totale du grand carré est la somme des quatre aires : a² + ab + ab + b², soit a² + 2ab + b².
4.Or l'aire de ce même grand carré se calcule aussi directement, côté × côté, soit (a + b)² : j'obtiens donc (a + b)² = a² + 2ab + b².
Pour a et b réels positifs, (a + b)² = a² + 2ab + b² (illustration géométrique par découpage en quatre aires).
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Prenons a = 3 et b = 2.
2.(3 + 2)² = 25.
3.3² + 2 × 3 × 2 + 2² = 9 + 12 + 4 = 25.
4.Les deux calculs donnent bien le même résultat : 25.