Analyse · 1re
Démonstration : l'équation de la tangente en un point à une courbe représentative
La tangente est la « limite » des sécantes : il suffit de suivre cette idée pour en écrire l'équation.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- sécante (AM)
- La droite joignant le point A d'abscisse a et un point M d'abscisse a + h de la courbe de f.
Ce qu'on sait
- Le taux de variation de f entre a et a + h, (f(a + h) − f(a))/h, est la pente de la sécante (AM) : La droite joignant le point A d'abscisse a et un point M d'abscisse a + h de la courbe de f..
- Quand h se rapproche de 0, ce taux de variation se rapproche du nombre dérivé f′(a) : c'est la définition du nombre dérivé.
- Une droite de pente m passant par un point (a ; b) a pour équation y − b = m(x − a).
La méthode, étape par étape
1.Je pars du taux de variation de f entre a et a + h : (f(a + h) − f(a))/h, qui est la pente de la sécante (AM).
2.Quand h se rapproche de 0, ce taux de variation se rapproche du nombre dérivé f′(a).
3.La sécante (AM) se rapproche alors d'une droite limite, la tangente en A, dont la pente est ce nombre f′(a).
4.Une droite de pente f′(a) passant par A(a ; f(a)) a pour équation y − f(a) = f′(a)(x − a).
5.J'isole y : y = f′(a)(x − a) + f(a).
La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour équation y = f(a) + f′(a)(x − a).
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour f(x) = x² en a = 1 : f(1) = 1 et f′(1) = 2.
2.L'équation de la tangente est y = 2(x − 1) + 1.
3.Je développe : y = 2x − 2 + 1 = 2x − 1.