Analyse · Tle
Démonstration : si f″ est positive, alors la courbe de f est au-dessus de ses tangentes
Comparer f à sa propre tangente revient à étudier une simple différence : sa dérivée première suffit à montrer qu'elle ne peut jamais devenir négative.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- fonction différence
- Ici, g(x) = f(x) − (f(a) + f′(a)(x − a)) : l'écart entre la courbe de f et sa tangente au point d'abscisse a.
Ce qu'on sait
- La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation y = f(a) + f′(a)(x − a).
- Si f″ est positive sur un intervalle, alors f′ y est croissante.
- Une fonction qui décroit puis croit admet un minimum au point où sa dérivée s'annule en changeant de signe.
La méthode, étape par étape
1.Je fixe un réel a de l'intervalle, et je note T la tangente à la courbe de f en a, d'équation y = f(a) + f′(a)(x − a).
2.Je pose g(x) = f(x) − (f(a) + f′(a)(x − a)) : l'écart entre f et sa tangente T. Je veux montrer que g(x) est positif ou nul pour tout x.
3.Je calcule g′(x) = f′(x) − f′(a). Comme f″ est positive, f′ est croissante, donc g′(x) est négatif pour x inférieur à a, nul en a, positif pour x supérieur à a.
4.g décroit donc jusqu'en a, puis croit : g admet un minimum en x = a, et ce minimum vaut g(a) = f(a) − (f(a) + f′(a) × 0) = 0.
5.Comme le minimum de g vaut 0, g(x) est positif ou nul pour tout x, soit f(x) ≥ f(a) + f′(a)(x − a) : la courbe de f est au-dessus de sa tangente en a.
6.Comme a était quelconque dans l'intervalle, la courbe de f est au-dessus de TOUTES ses tangentes.
Si f″ est positive sur un intervalle, la courbe représentative de f y est au-dessus de chacune de ses tangentes.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour f(x) = x², f″(x) = 2, toujours positive : f est convexe sur ℝ.
2.Sa tangente en x = 1 a pour équation y = 2x − 1 ; en x = 2, la tangente vaut 3, tandis que f(2) = 4 : la courbe est bien au-dessus.