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Logarithme népérien : réciproque et propriétés

Le logarithme népérien défait ce que l'exponentielle a fait : deux , et toute une algèbre pour transformer une écriture.

La démonstration en vidéo

fonction réciproque: Une fonction qui « défait » exactement ce qu'une autre a fait : ln(eˣ) = x pour tout réel x, et e^ln(x) = x pour tout réel x strictement positif.
équation fonctionnelle: Une propriété qui transforme une opération (produit, quotient, puissance) en une autre (somme, différence, produit par un entier) : ln(ab) = ln(a) + ln(b), par exemple.

ln est définie sur ]0 ; +∞[ uniquement, comme réciproque de l'exponentielle : ln(x) = y équivaut à eʸ = x.
ln(1) = 0 (car e⁰ = 1) et ln(e) = 1 (car e¹ = e).
Propriétés algébriques : ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; ln(a/b) = ln(a) − ln(b) ; ln(aⁿ) = n × ln(a).
Il n'existe AUCUNE règle pour ln(a + b) : le logarithme ne transforme jamais une somme.

1.Je repère l'opération présente dans l'expression : produit, quotient, puissance, ou composition avec exp.

2.Pour un produit, j'utilise ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; pour un quotient, ln(a/b) = ln(a) − ln(b) ; pour une puissance, ln(aⁿ) = n × ln(a).

3.Pour résoudre une équation ln(x) = k, j'applique l'exponentielle aux deux membres : x = eᵏ.

4.Pour résoudre une équation eˣ = k (k strictement positif), j'applique ln aux deux membres : x = ln(k).

5.Pour une inéquation avec ln, je vérifie D'ABORD le domaine de définition (l'argument de ln doit être strictement positif) avant de résoudre.

ln et exp sont réciproques ; ln transforme un produit en somme, un quotient en différence, une puissance en produit par un entier — jamais une somme.

C.Q.F.D.

1.Résoudre ln(2x − 1) ≤ 0 : le domaine impose 2x − 1 strictement positif, soit x strictement supérieur à 1/2.

2.Sur ce domaine, ln(2x − 1) ≤ 0 équivaut à 2x − 1 ≤ 1, soit x ≤ 1.

3.En croisant les deux conditions, l'ensemble des solutions est ]1/2 ; 1].