Analyse · Tle
Démonstration : la limite en 0 de la fonction x ln(x)
x tend vers 0 pendant que ln(x) tend vers −∞ : un changement de variable : Remplacer x par une nouvelle variable (ici X = 1/x) pour ramener une limite à une forme déjà connue. transforme cette forme indéterminée en une croissance comparée déjà connue.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- changement de variable
- Remplacer x par une nouvelle variable (ici X = 1/x) pour ramener une limite à une forme déjà connue.
Ce qu'on sait
- Quand x tend vers 0 (x strictement positif), X = 1/x tend vers +∞.
- Croissance comparée déjà établie : limX ⟶ +∞ ln(X)/X = 0.
- Propriété algébrique : ln(1/x) = −ln(x).
La méthode, étape par étape
1.Je pose le changement de variable X = 1/x : quand x tend vers 0 par valeurs strictement positives, X tend vers +∞, et x = 1/X.
2.J'exprime x ln(x) avec cette nouvelle variable : x ln(x) = (1/X) × ln(1/X).
3.J'utilise la propriété algébrique ln(1/X) = −ln(X) : x ln(x) = (1/X) × (−ln(X)) = −ln(X)/X.
4.Par croissance comparée, limX ⟶ +∞ ln(X)/X = 0, donc limX ⟶ +∞ (−ln(X)/X) = 0.
5.Comme X tend vers +∞ quand x tend vers 0, je conclus limx ⟶ 0 x ln(x) = 0.
limx ⟶ 0 x ln(x) = 0 (x strictement positif) : x écrase la divergence de ln(x) vers −∞.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour x = 0,001 : x ln(x) ≈ 0,001 × (−6,908) ≈ −0,0069, déjà très proche de 0.
2.Plus x se rapproche de 0, plus x ln(x) se rapproche de 0, malgré la divergence de ln(x).