Géométrie · 1re Bac SE
Géométrie analytique de l'espace : droites et plans
Avec trois coordonnées, une droite se décrit par un paramètre, un plan par une équation, et le déterminant tranche la coplanarité.
Le vocabulaire à connaître
- déterminant de trois vecteurs
- Un nombre calculé à partir de leurs coordonnées, qui vaut 0 exactement quand les trois vecteurs sont coplanaires.
- représentation paramétrique d'une droite
- Un système donnant x, y, z en fonction d'un paramètre t.
Ce qu'on sait
- Les coordonnées de AB sont (x_B − x_A ; y_B − y_A ; z_B − z_A) ; elles s'additionnent et se multiplient par un réel coordonnée par coordonnée.
- La droite par A de vecteur directeur u a pour représentation paramétrique x = x_A + t x_u, y = y_A + t y_u, z = z_A + t z_u.
- Un plan a une équation ax + by + cz + d = 0 ; deux plans sont parallèles si les coefficients (a, b, c) sont proportionnels, sécants sinon.
La méthode, étape par étape
1.Pour les alignements, je compare les coordonnées de deux vecteurs issus d'un même point.
2.Pour la coplanarité, je développe le déterminant selon la première ligne : s'il est nul, les vecteurs sont coplanaires.
3.Pour l'intersection d'une droite et d'un plan, je remplace x, y, z par leurs expressions en t et je résous.
4.Je remets la valeur de t dans la représentation paramétrique pour obtenir le point.
Déterminant nul : coplanaires. Droite et plan : substituer dans l'équation du plan.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Le déterminant de u(2 ; 1 ; 0), v(1 ; 3 ; 1) et w(0 ; 5 ; 2) :
2.det = 2(3 × 2 − 1 × 5) − 1(1 × 2 − 1 × 0) + 0(1 × 5 − 3 × 0).
3.det = 2 × 1 − 1 × 2 + 0 = 0.
4.Le déterminant est nul : les trois vecteurs sont coplanaires.